Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition  

Soit une expérience aléatoire d'univers  `\Omega`  fini muni d'une probabilité \(P\) et  `X`  une variable aléatoire sur  `\Omega`  telle que  `X(\Omega)={x_1;x_2;...;x_n}` . 
Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire  `X` , c'est associer, à chaque valeur  `x_i`  pour  \(i\in\{1;2;...;n\}\) , la probabilité  \(P(X=x_i)\) .

La loi de probabilité d'une variable aléatoire `X` se représente généralement par un tableau comme le suivant.

Remarques

On note  \(p_i=P(X=x_i)\)     pour tout  \(i\in\{1;2;...;n\}\) .

• Les  \(p_i\)  vérifient :  \(\begin{cases} 0\leqslant p_i\leqslant1,\ \text{pour tout}\ i\in\{1;2;...;n\}\\ p_1+p_2+...+p_n=1 \end{cases}\) . 
  

Exemple

On considère un lancer de dé dont l'univers est  \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\)  que l'on munit de l'équiprobabilité. Soit \(X\)  la variable aléatoire définie par : 

\(\begin{cases} X(1)=X(3)=X(5)=4\\ X(2)=X(4)=-2\\X(6)=-10 \end{cases}\)

Ici,  `X(\Omega)={-10;-2;4}` . 

Déterminons les probabilités :

• \(P(X=4)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)
  
• \(P(X=-2)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)
  
• \(P(X=-10)=\dfrac{1}{6}\)
  

La loi de probabilité de  \(X\)  est donc :